Zatitzaile komun handiena

Ukrainako gerraren irudiak iritsi zaizkigu eta ikusi dugu herrialde bat hondarretan. Eragiten ari da gure ekonomian, eta gasolindegira lehen baino kezka handiagoz joaten gara. Saharatik apenas iristen zaigun irudirik. Hondarra bai, hondarra iritsi zitzaigun orain egun batzuk, eta horrek ere kezka eragin du gasolindegietan. Tira, kezka baino, autoa garbitzeko ilarak. Bi hondar, bi kezka, bi erreakzio. Eta bata gertuago izanagatik bestearen azalean jartzen gara, edo gaituzte. Beharbada azalaren koloreak ere baldintzatuta. Ez da erraza jakiten.

Hondar, hareari eta hondakinei esateaz gain, soberan geratzen denari ere esaten zaio. Ziur aski horregatik, zatiketa batean soberan geratzen den partea da hondarra, matematikoki. Esaterako, 15 puxtarri badauzkagusei lagunen artean banatzeko, bakoitzari bina egokituko zaio, eta hiru geratuko dira banatu gabe. Bestela esanda, 15 zati 6-ren zatidura 2 da, eta hondarra 3.

Zenbaki batek beste bat zatitzen duela diogu zatiketaren hondarra zero bada. Adibidez,6-k 12 zatitzen du, 12 zati 6-ren zatidura 2 delako eta hondarra 0. Herrialdeek ere zatitu izan eta zatitzen dute elkar. Bitxia da, izan ere, zenbakien kasuan, zenbat eta handiagoa izan, orduan eta aukera gehiago zatitzaile asko izateko. Herrialdeen kasuan aldrebes izaten da. Edo beharbada zatituenak horregatik dira txikiak, dagoeneko zatituta daudelako.

Baina herrialde batek beste bat zuzenean ez zatitzeak ez du esan nahi komunean ezer ez dutenik. Ez du esan nahi zatitzaile komunik ez daukatenik. Gogoan izango duzue eskolan nola bi zenbakiren zatitzaile komun handiena kalkulatu behar izaten zen sarri. Izenak berak dion gisan, aldi berean bi zenbakien zatitzaile direnetako handiena da. Definizioa kontuan hartuz, aurkitzeko jarraitu beharreko prozedura sinplea da. Zerrendatu bataren eta bestearen zatitzaile guztiak. Adibidez, 15enak: 1, 3, 5, 15; eta 6renak: 1, 2, 3, 6. Hartu aldi berean bien zatitzaile direnak. Adibidean, 1 eta 3. Eta handienarekin geratu. Alegia, 3 dela 15 eta 6-ren zatitzaile komun handiena.

Prozedura honek zenbaki txikiekin balio du. Baina zenbakiak handituz joan ahala, urteak beharko genituzke bide horretatik bi zenbakiren zatitzaile komun handiena aurkitzeko. Izan ere, urteak behar dira zenbaki handiak faktorizatzeko, eta zatitzaileak zerrendatzea hori da, finean. Nola kalkulatu, orduan, modu eraginkor batean, bi zenbakiren zatitzaile komun handiena? Bada, hondarrei begira.

Izenak hala ez badio ere, oso erabilgarriak dira hondarrak. Izan ere, zatikizunaren eta zatitzailearen zatitzaile komun handiena eta zatitzailearena eta hondarrarena bat datoz. Hau da, a=b.c+h bada, zkh(a,b)=zkh(b,h) da. Eta faktorizatzea zaila bada konputazionalki, zatiketak egitea erraza da. Zuei akaso eskolatik ahaztu bazaizue ere, ordenadoreek segundotan zatitu ditzakete zifra askoko zenbakiak. Eta zer da irabazi duguna? Bada, prozesu hau etengabe errepika dezakegula. Hondarra gero eta txikiagoa izango da, eta zero ez den azken hondarrak emango digu hasierako bi zenbakien zatitzaile komun handiena. Adibidean, zkh(15,6)=zkh(6,3)=zkh(3,0)=3.Euklidesen algoritmo bezala da ezaguna prozesu hau.

Badirudi gu ere definizioarekin tematzeak itsutzen gaituela batzuetan. Urteak daramatzagu herrialde bakoitzak bere zatitzaile guztiak bilatu nahian, prozesu amaiezin batean. Ohartu gabe, beharbada, ingurukoei begiratu eta elkar zatitzean geratzen diren hondarrek lagun diezaguketela zatitzaile komun handienak identifikatzen.

Saharatik iritsitako hondarra izan zitekeen seinale bat, «gu ere zatituta gaude» esateko modu bat. Baina beldur naiz ez ote dituen hautsak gutxiegi harrotu...