Hirugarrena baztertzea

Duela bi aste esan nizuen kontraesanetatik egiak justifikatzen ikasi dugula matematikariok. Eta hala da, eta egunerokoan horrela funtzionatzen du matematikaren gehiengoak. Karreran ere hala irakasten ziguten eta hala irakasten dugu. Baina hori ahalbidetzen duen printzpio bat onartzen dugu. Bestela ez zen posible izango kontraesan batetik egia bat ondorioztatzea. Edo ez nik azaldu nuen gisan, behintzat.

Suposatu ohi duguna zera da: enuntziatu bat edo bere ukapena egia dela. Hau da, P egia ez bada, orduan ez P egia dela, eta alderantziz. Hirugarrena edo erdikoa baztertzearen printzipio esaten zaio. Law of excluded middle, ingelesez. Agerikoa ematen duen zerbait da: gauza bat egia ez bada, bere ukapena izango da egia, eta alderantziz. Baina naturala emanagatik, ez dauka frogapenik. Onartu egin behar dugun axioma bat da.

Gizartea polarizatuta dagoela esaten da maiz. Eta badu erdikoa baztertzearen printzipioarekin loturarik. Beharbada hala izan da beti, baina azken urteetako gertakariek (akaso sare sozialek lagunduta) areagotu egin dute sentsazioa. Negazionista ala ofizialista, Putinzale ala Zelenskizale, alde ala kontra.

Printzipioa frogaezina delako onartzera kondenatuta gaudela esan dut, baina ez da erabat hala. Izan ere, badira axioma hau onartzen ez duten logiko eta matematikariak. Konstruktibistak esaten diete, eta saiatuko naiz adibide baten bidez azaltzen eraikitzailetasunarena nondik datorren.

Demagun edozein enuntziatu P izanik, P egia edo ez P egia axioma onartzen dugula. Ondoko enuntziatua frogatuko dizuet: «existitzen dira bi zenbaki irrazional x eta y, zeinentzakox ber y arrazionala den». Hartu x=y=erro bi, beraz, biak irrazionalak. Erro bi ber erro bi arrazionala bada, listo. Topatu ditugu bi irrazional beraien arteko berretura arrazionala dena. Ez baldin bada arrazionala, orduan erro bi ber erro bi irrazionala da. Beraz, gure x eta y aldatuko ditugu. Orain xerro bi ber erro bi izango da eta y erro bi, non biak irrazionalak diren, erro bi ber erro bi arrazionala ez dela suposatzen ari garelako. Baina orain, x ber y bi da, alegia, arrazionala. Eta beraz, gai izan gara x eta y nahi genituen modukoak topatzeko.

Argumentu hau onargarria da logikaren ikuspuntutik, eta hasierako enuntziatua frogatu dugu, berez. Baina argumentua amaitu eta ez dakigu bietako zein bidek ematen zuen erantzuna. Ez ditugu x eta y konkretuak eraiki. Zentzu horretan, ez da frogapen eraikitzaile bat. Eta erabiltzen ari garena, finean, erro bi ber erro bi arrazionala ez bada irrazionala dela da. Baina ez dakigu bata ala bestea den. Eta argumentuak berdin funtzionatzen du jakin gabe ere. Hori da erdikoa baztertzearen legearen indarra, bitasun hori erabiltzen uzten digula.

Frantziako hauteskunde sisteman ikusi berri dugu fenomeno hau. Beste herrialde batzuetan ere egiten da. Hirugarrenak baztertu egiten dira, bitasun bat izan arte, herrialde oso bat hau ala ez-hau hautatzera behartuz. Erdibidean ezer ez balego bezala.

Erdikoa baztertzearen printzipioa kontuz erabiltzeko arrazioetako bat da batzuetan enuntziatu baten ukapena eta ukapenaren antzekoa den bat nahas daitezkeela. Adibidez, zenbaki lehen izatearen kontrakoa konposatu izatea dela argudiatuz froga lezake norbaitek zerbait. Baina 1 zenbakia ez da ez lehena ez konposatua. Horrelako detaile txikiek pikutara bidal dezakete argumentu abstraktu bat, kontuz ibili ezean.

Guk ere erabakitzen dugu sarri zerbaiten alde kontrakoa baztertzen dugulako. Baina kontrako hori noraino den kontrako, noraino kontrakoaren antzekoa... Konstruktibistei ez zaie arrazoirik falta, batzuetan arriskutsua izan daiteke hirugarrenak baztertzea.