Hautuak

Plan zaharrekoa naiz ni, lizentziatura egin genuen azken-aurreko belaunaldikoa. Orduan ez zen posible Matematika ikasketak osorik euskaraz egitea EHUn. Gaur egun ere ez. Eta etsigarria izanagatik, horri esker izan nuen Oscar Garay irakasle gisa izateko plazerra. Berak eman zigun Topología Algebraica irakasgaia. Joan den astean zendu zen, tamalez. Gogora etorri zait nola bere irakasgaian deskubritu nuen lehen aldiz Banach-Tarski-ren paradoxa.

Paradoxa esaten zaio, baina matematikoki teorema bat da. Enuntziatua esaten dizuedanean ulertuko duzue izenaren jatorria. Banach-Tarski-ren paradoxak dio posible dela esfera batetik esfera horren bolumen bereko bi esfera berdin sortzea, egindako mugimendu denetan distantziak errespetatuz. Egiten den bakarra esfera bost zatitan zatitu eta zati horiek distantziak errespetatuz berrantolatzea da. Emaidazue baloi bat eta baten lekuan bi bueltatuko dizkizuet. Magia ematen du.

Fisikoki (momentuz) ezinezkoa dena teorema bat da matematikan. Horregatik darama paradoxaren izena. Baina zerk ahalbidetzen du halako zerbait egia izatea? Pentsatzekoa da matematikariek, halako aurkikuntza baten aurrean, beraien buruari galdetu behar lioketela ea hori ahalbidetzen duen teoria zuzena den ala ez.

Kontua da, badela paradoxa hau teorema bihurtu eta beste zenbait emaitza berezi ahalbidetzen dituen axioma bat: hautuaren axioma. Multzo teoriaren axiomatizazioaren garaian,Zermelo matematikariak axioma hau gehitzea proposatu zuen. Axioma bat denok egiatzat onartuko dugun zerbait da, frogapen matematikorik ez daukana.Gero axiometatik eraikitzeko gure teoria.

Hautuaren axiomak dioena, hutsean pentsatuta, onartzeko moduko zerbait da. Zera dio: multzo ez-hutsen familia bat emanik, posible da multzo bakoitzetik elementu bat hautatu eta hautatuko elementuekin multzo berri bat eraikitzea. Sinplea, ezta? Arazoa nola hautatu ez dakigunean dator.

Funtzio hautatzaile esaten zaio multzo bakoitzeko elementu hori aukeratzen duen funtzio edo erregelari. Kasu batzuetan ebidentea da hautaketa nola egin. Adibidez, zenbaki arrunten multzoak izango bagenitu, hauta genezake multzo bakoitzetik txikiena. Tira, baina eta zenbaki arrunten multzo horietako batean denak 2 zenbakia balira? Hor ez dago txikien bat. Nola hautatu bat arbitrarioki?

Russell-ek arazoa ilustratzeko zapatak eta galtzerdiak erabili zituen. Zapata pareen familia infinitu bat bageneuka, erraza litzateke bakoitzetik bat hautatzea. Hautatu denetan ezkerrekoa, adibidez, eta kito. Baina galtzerdi pareen familia infinitu batetik, nola hautatu bakoitzeko bat, galtzerdi biak bereizi ezinak badira? Kasu honetan hautua ez da automatikoa. Hautuaren axiomak dioena da kasu honetan ere posible dela selekzio hori egitea.

Bada, axioma itxuran inozo honek ahalbidetzen du esfera bikoiztea. Pentsa genezake, orduan, hobe litzatekeela halako ondorioak dituen axioma bat kentzea. Gertatzen dena da beste hainbat emaitza matematiko ez liratekeela posible axioma hau kenduta. Eta matematikarien gehiengoak nahiago du esfera bikoizteko posibilitatearekin bizi, beste emaitza horiek frogatzeko gaitasunik gabe baino.

Askatasuna denen ahotan dago aspaldion, eta sarri hautatu ahal izatearekin lotzen da. Azken boladan, hautu pertsonal eta indibidualekin lotu da bereziki. Guk ere nahi dugu gure hautuaren axioma, utziko diguna nora bidaiatua, etxeratzeko ordua edo norekin eta nola elkartua aukeratzen. Egin nahi duguna multzo infinitu batetik hautatzen, alegia.

Dirudienez, matematikariek bezala, nahiago dugu ondorio arriskutsuak izan ditzaketen paradoxekin bizi, bitartean balizko askatasun horretan bizitzen utziko badigute.