Finitu

Batzuetan errazenak diruditenak dira definitu eta maneiatzeko kontzepturik zailenak. Maiz aipatu dizuet, adibidez, multzoaren definizioa ez dela batere erraza. Antzera gertatzen da finitutasunarekin. Denok dugu buruan ideia bat. Multzo bateko elementuak kontatzen hasi eta momenturen batean bukatzen badugu, multzo hori finitua da. Eta ideia bezala, zuzena da. Besterik da, matematikoki hori definitzea noraino suerta daitekeen zaila.

Finitua ez dena infinitua dela diogu. Badira infinitutasuna definitzeko bestelako moduak ere, baina pentsa dezagun honetan. Esan dugu zerbait finitua dela elementuak zerrendatzen hasi eta noizbait amaitzen badugu. Beraz, infinitua izango da amaitzen ez badugu. Tira, edo zerrendatzeko gai ere ez bagara! Baina utz dezagun bigarren kasua, gaurkoz.

Zerrendatzeko gai izan, baina zerrendatzen inoiz amaitzen ez dugun multzorik sinpleena zenbaki natural guztien multzoa da. Haur batek ere bere buruari galde diezaiokeen galdera da: zein da aipatu dezakedan zenbakirik handiena? Tira, agian hasieran esango du 10. Baina laster ohartuko da 11 ere esan dezakeela, eta 20, eta milioi bat! Baina milioi bat eta bat ere bai, eta... Beti esan dezake bururatu zaiona baino handiago bat. Hori da infinituaren lehen intuizioa.

David Hilbert-ek, infinituaren inguruan sor litezkeen paradoxak irudikatu nahian, hotel baten adibidea jarri zuen. Demagun badela hotel bat zenbaki naturalak adina gela dituena. Hoteleko gela guztiak beteta dauden egun batean iristen da bezero berri bat gela eske. Hotela beteta egonik, pentsatzekoa da harrerakoak sentitzen duela esango diola, ez dagoela gelarik libre. Baina horren ordez harrerakoak agindu bat ematen die hoteleko bezeroei: «Mesedez, N zenbakidun gelan bazaude, mugi zaitez N+1. gelara». Bezeroek obeditu, eta 1 zenbakidun gela libre geratzen da. Badago tokia bezero berriarentzat.

Jolas bera errepika daiteke edozein bezero kopururekin. Baldin eta 50 bezero berri azaltzen badira, N. gelakoa N+50. gelara bidaltzea besterik ez litzateke. Baina, eta infinitu bezero berri azaltzen badira kolpean? Pentsa liteke orduan baietz, arazoak izango lituzkeela hotelak. Harrerakoa azkarra da, ordea, eta agindu berri bat bururatzen zaio: mugi dadila bakoitza, mesedez, N. gelatik 2 bider N zenbakidun gelara. Horrela, zenbaki bakoitidun gela guztiak libre geratuko dira, eta zenbaki bakoitien multzoa ere infinitua denez, izango du lekua infinitu bezero berrientzat. Ez naiz azalpenetan luzatuko, baina infinitu bezero berri dakartzaten infinitu autobus kolpean baletoz ere, izango luke modua Hilbert-en hotelak denak onartzeko.

Infinituaren kontzeptua paradoxikoa da, beraz. Bizitza errealean gauza finituekin aritzera gaude ohituta. Nahiz eta batzuetan gure agenda eta konpromisoekin Hilberten hotela bagina bezala jokatzen dugun. Lehen geneuzkanei +1 edo bider bi aplikatu, behar den logelara mugitu, eta lekua egiten diegu gauza berriei. Gure gaitasunak infinituak balira bezala.

Nik ere, zutabe hau idazteko eskaera onartu nuenean, banekien kopuru finitu bat izango zela. Ez nekiena zen noiz utziko nion kontatzeari. Bada, tarte luze baterako, 72. hau izango da azkena. Finituak mugatzea du helburu, eta kasualitatez, mugaz bestalde horixe esan nahi du finitu-k ere, bukatu.

Kultura orokorrean matematikak duen lekua zabaltzeko asmoz hasi nuen lehen zutabea, eta ohartzen naiz ez dudala Hilbert izeneko hotelik ezagutzen. Ez da seinale ona.

Eskerrik asko irakurri nauzuen denoi, baita paragrafo dentsoenak saltatzen zenituztenei ere. Eta eskerrik asko BERRIAri, luxuzko hotel honetan 72 arkupe nire hitzentzako erreserbatuta izatearren. Plazer bat izan da.