Eulerren zenbakia

Errenta aitorpena egiteko garaia da. Inor gutxiri gustatuko zaigu, baina hainbat elkarrizketa hartzen ditu. Nori tokatu zaion ordaintzea, nori bueltan jasotzea. Zerk desgrabatzen duen, zerk ez. Komeni dela hau edo beste egitea: hipotekak, interesak, pentsio planak... Helburua bera izan ohi da gehienetan, ez dadila ordaindu behar dugunik atera.

Ez zaigu dirua galtzea gustatzen. Nahiz eta kasu honetan ez den galtzea, urtean zehar ordaindu ez dugun zor bat kitatzea baizik. Baina sentsazioa galerarena da, dirua eman beharrarena. Eta sentsazio hori inork ez du gustuko. Kontrakoa, izatekotan. Dirua irabaztea da ona. Hainbat trikimailu asmatu izan eta asmatzen dira horretarako.

Sarritan entzungo zenuten Eulerren e zenbakiaren garrantziari buruz. Pi zenbakiaren ondoren zenbaki garrantzitsuenetakoa da matematikan. Baina pi-rekin ez bezala, gutxik erlazionatzen du e zenbakia ezerekin. Pi denok dakigu zirkunferentziarekin erlazionatuta dagoela. Zirkunferentziaren luzera da erradioa bi pi aldiz. Hor dago zirkunferentzia, hor erradioa eta hor bere luzera. Hiru kontzeptu horiek ulertzea aski da pi ulertu eta barneratzeko.

Akaso horregatik da aspalditik ezaguna pi. Kristo aurrekoak dira pi-ren hurbilpenen lehen agerpenak. Eulerren zenbakia, ordea, ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen e zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da e zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia.

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera 1/e dena, hain zuzen ere.

Bere ezaugarri bitxietakobeste bat e oinarri duen funtzio esponentziala da. Izan ere e ber x funtzioaren hazkundea deskribatzen duen funtzioa funtzio bera da. Alegia, e ber x-ren deribatua e ber x dela. Edozeren hazkundea deskribatzeko funtzio natural bihurtzen du horrek. Zenbaki konplexuen bidez sinu eta kosinuarekin, eta, beraz, pi zenbakiarekin ere lotuta dago. Fisikan ezinbestekoak diren uhinak deskribatzeko erabiltzen da.

Zenbatezinak dira e zenbakiaren agerpenak eta eraginak naturan. Baina kuriosoki, dirua irabazteko trikimailu bat aztertzetik ezagutu genuen. Eta horrek ere asko dio gizakiaren diruarekiko eta naturarekiko harremanaz. Hasi errenta aitorpenak egiteko dugun jarreratik eta ikerketa egiteko modu eta motibazioetaraino.